mr 3 e 2λt. 1 + e d dt 2G v 1 = m 2 r o, 2 ˆr + 1 r , v 2 = m 1

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "mr 3 e 2λt. 1 + e d dt 2G v 1 = m 2 r o, 2 ˆr + 1 r , v 2 = m 1"

ÉΘεοκλής Γούσιος
5 χρόνια πριν
Προβολές:

Εθνικό κι Κποδιστρικό Πνεπιστήμιο Αθηνών, Τμήμ Φυσικής Εξετάσεις στη Μηχνική Ι, Τμήμ Κ Τσίγκνου & Ν Βλχάκη, 4 Σεπτεμβρίου 8 Διάρκει εξέτσης 3 ώρες, Κλή επιτυχί bonus ερωτήμτ Ονομτεπώνυμο:, ΑΜ: Ν

όπου λ στθερά Δείξτε ότι η ποσότητ L e λt r m v διτηρείτι κι ότι η κίνηση είνι επίπεδη β Χρησιμοποιήστε πολικές συντετγμένες στο επίπεδο της κίνησης κι δείξτε ότι η εξίσωση που κθορίζει την rt είνι m

1 Εθνικό κι Κποδιστρικό Πνεπιστήμιο Αθηνών, Τμήμ Φυσικής Εξετάσεις στη Μηχνική Ι, Τμήμ Κ Τσίγκνου & Ν Βλχάκη, 4 Σεπτεμβρίου 8 Διάρκει εξέτσης 3 ώρες, Κλή επιτυχί bonus ερωτήμτ Ονομτεπώνυμο:, ΑΜ: Ν ληφθεί υπόψη η πρόοδος της 4ης Δεκεμβρίου 7: ΝΑΙ ν ΝΑΙ μην πντήσετε τ θέμτ κι Εχω πρδώσει τις εργσίες 7 Μέρος Α 8 9 Μέρος Β ΟΧΙ Θέμ ο : Σε σώμ μάζς m σκείτι κεντρική δύνμη frˆr κι δύνμη ντίστσης mλ v όπου λ στθερά Δείξτε ότι η ποσότητ L e λt r m v διτηρείτι κι ότι η κίνηση είνι επίπεδη β Χρησιμοποιήστε πολικές συντετγμένες στο επίπεδο της κίνησης κι δείξτε ότι η εξίσωση που κθορίζει την rt είνι m r + mλṙ fr + L mr 3 e λt γ Βρείτε την δύνμη fr γι την οποί είνι δυν- + e λt κι r L πmλ τή η κίνηση με r r δ Βρείτε την φt κι σχεδιάστε την τροχιά στην περίπτωση του προηγούμενου ερωτήμτος Δίνετι η έκφρση της επιτάχυνσης σε πολικές συντετγμένες a r r φ ˆr + r Θέμ ο : d dt r φ ˆφ Σώμ μάζς m είνι δεμένο στο άκρο ιδνικού οριζόντιου ελτηρίου πάνω σε έν τρπέζι κι στους χρόνους t < εκτελεί ρμονική τλάντωση x cos t σε κτάλληλες μονάδες στον άξον x Το άλλο άκρο του ελτηρίου είνι στερεωμένο στο τρπέζι, ενώ τριβές δεν υπάρχουν Αν στους χρόνους t > στο σώμ σκείτι επιπλέον η δύνμη F e tˆx εκτός της δύνμης ελτηρίου, ποιο θ είνι το πλάτος της τλάντωσης που θ εκτελεί σε χρόνους t ; β Αν στους χρόνους t > κινούμε το τρπέζι με τχύτητ v e t ˆx, ποι θ είνι η κίνηση του σώμτος ως προς το τρπέζι; γ Αν στους χρόνους t > στο σώμ σκείτι η δύνμη ελτηρίου κι επιπλέον η δύνμη F c e xˆx με c > το τρπέζι είνι κίνητο ποι θ είνι η τχύτητ συνρτήσει της θέσης στην νέ κίνηση; Τι το ιδιίτερο έχει η υποπερίπτωση c ; δ Γι το πεδίο δύνμης x e x x x ˆx, όπου x θετική στθερά, σχεδιάστε την δυνμική ενέργει κι το διάγρμμ φάσης Βρείτε τ σημεί ισορροπίς κι την ευστάθειά τους Θέμ 3 ο : Η τροχιά της Γης γύρω πό τον Ηλιο είνι προσεγγιστικά κυκλική η εκκεντρότητ της γήινης τροχιάς είνι e 67 κτίνς κι ενέργεις E o Στ κόλουθ θ θεωρήσουμε κάποι δυσοίων κι πευκτί σενάρι γι το μέλλον της Γης μς Κάποτε, μετά πό μερικά δισεκτομμύρι έτη, ότν τ κύσιμ του Ηλιου θ τελειώσουν, ο Ηλιος θ εκργεί, χάνοντς, έστω, τη μισή του μάζ Θεωρήστε ότι η έκρηξη είνι κριί κι κτά την διάρκειά της η θέση κι η τχύτητ της Γης πρμένουν στθερές, όχι όμως κι η ενέργειά της E E o η οποί θ λλάξει φού πλέον θ βρεθεί πότομ εντός διφορετικού πεδίου βρύτητς Δείξτε ότι τότε η Γη θ χθεί στο μκρινό διάστημ, φού η τροχιά της γύρω πό τον Ηλιο θ γίνει πρβολική β Θεωρήστε, σε έν άλλο σενάριο, ότι η κυκλική κίνηση της Γης γύρω πό τον Ηλιο στμτά πότομ λόγω κάποιου εξωτερικού πράγοντ, πχ, λόγω μις σύγκρουσης με κάποιον εξωηλικό πλνήτη που ήρθε στο δικό μς πλνητικό σύστημ, ή, κάποιον στεροειδή κι υτή κινητοποιείτι Υπολογίστε σε πόσο χρόνο σε ημέρες η κινητοποιημένη Γη θ πέσει στον Ηλιο λόγω της ελκτικής του δύνμης, που στη διδικσί υτή τον θεωρούμε κίνητο Αγνοήστε τις διστάσεις των σωμάτων γ Σε έν τρίτο δυσοίωνο σενάριο, θεωρήστε ότι η Γη κι ο Ηλιος κινούντι σε κυκλικές τροχιές γύρω πό το κοινό τους κέντρο μάζς με περίοδο T Αν κάποι στιγμή στμτήσει πότομ η κυκλική κίνησή τους, όπως στο προηγούμενο ερώτημ, κι ρχίσουν ν έλκοντι βρυτικά στην ευθεί που τ συνδέει, δείξτε ότι θ συγκρουσθούν σε χρόνο t T /8 δ Στην προηγούμενη περίπτωση γ δείξτε ότι οι στιγμιίες τχύτητες των δύο σωμάτων m M κι m M δίδοντι πό τις εκφράσεις: r G, v m M r, όπου M m + m, r η πόστση μετξύ τους κι η ρχική της τιμή dx Σημείωση: Το ολοκλήρωμ x μπορεί ν b G v m M

2 υπολογιστεί με την ντικτάστση x b cos ξ Θέμ 4 ο : Θεωρήστε ένν κομήτη ο οποίος κινείτι σε πρβολική τροχιά, στο επίπεδο της εκλειπτικής, δλδ το επίπεδο της τροχιάς της Γης περί τον Ηλιο Εστω λ, όπου λ <, η πόστση του περιηλίου της τροχιάς του κομήτη δλδ, η πόστση της εγγύτερης πόστσης του κομήτη πό τον Ηλιο, όπου η κτίν της περίπου κυκλικής τροχιάς της Γης περί τον Ηλιο Δείξτε ότι το χρονικό διάστημ σε έτη κτά το οποίο ο κομήτης ευρίσκετι σε πόστση r <, δλδ ευρίσκετι εντός της τροχιάς της Γης περί τον Ηλιο δίδετι πό την έκφρση t + λ λ έτη β Αν ο κομήτης πλησιάζει τον Ηλιο σε πόστση ίση με την πόστση της Αφροδίτης πό τον Ηλιο, δλδ, 7, γι πόσες ημέρες ο κομήτης θ ευρίσκετι σε πόστση r < ; Αγνοήστε την βρυτική λληλεπίδρση Γης κομήτη

3 ΛΥΣΕΙΣ: Θέμ ο : L λe λt r m v+e λt v m v+e λt r m a κι χρησιμοποιώντς τον νόμο Νεύτων m a frˆr mλ v βρίσκουμε L Η κίνηση γίνετι στο επίπεδο το κάθετο στο στθερό διάνυσμ L, φού L r β Σε πολικές συντετγμένες στο επίπεδο της κίνησης είνι r rˆr, v ṙˆr + r φ ˆφ, a r r φ ˆr + d r φ ˆφ, οπότε οι συνιστώσες r dt r r φ του νόμου Νεύτων είνι m fr mλṙ κι m d r φ mλr r dt φ Η δεύτερη είνι ισοδύνμη με την διτήρηση του L e λt r m v e λt mr φẑ Είνι λοιπόν L L ẑ με L e λt mr φ Θέτοντς φ L mr e λt στην πρώτη βρίσκουμε την εξίσωση που κθορίζει την κτίν m r + mλṙ fr + L mr 3 e λt γ Θέτοντς στην τελευτί εξίσωση r r + e λt κι κτόπιν e λt r βρίσκουμε r fr L r mr 3 r e λt δ Από φ L mr e λt 4L mr + e λt προκύπτει φ 8π t [ ] λe λt t + e λt dt 8π + e λt 4π e λt 4π tanh λt θεωρώντς χωρίς βλάβη + e λt γενικότητς φ t y/ x/ Η ρχική κτίν είνι r κι κθώς ο χρόνος υξάνετι μειώνετι μέχρι την τιμή r / την οποί ποκτά πρκτικά σε χρόνο 5/λ Η γωνί φ υξάνετι πό την μηδενική ρχική τιμή ως 4π δηλ συμπληρώνοντι δύο πλήρεις περιστροφές Θέμ ο : Η εξίσωση κίνησης γι t < είνι mẍ + kx Αφού έχει λύση x cos t κι m, είνι k Η εξίσωση κίνησης γι t > είνι ẍ + x e t Η λύση της ομογενούς είνι C cos t + C sin t ενώ μι μερική λύση είνι Ae t με την ντικτάστση ν δίνει A Άρ η γενική λύση είνι x C cos t + C sin t + e t κι η πράγωγός της ẋ C sin t + C cos t e t Από τις ρχικές συνθήκες γι t δηλ τις τελικές συνθήκες της κίνησης με x cos t, ẋ sin t που ισχύει γι t <, έχουμε x t C + C κι ẋ t C C Άρ γι t > η κίνηση είνι x sin t + e t Σε μεγάλους χρόνους t 5 το εκθετικό μηδενίζετι οπότε το σώμ εκτελεί ρμονική τλάντωση με μονδιίο πλάτος β Γι την μελέτη στο μη-δρνεικό σύστημ που κινείτι με το τρπέζι πρέπει ν προσθέσουμε την υποθετική δύνμη m a m v e tˆx Άρ η κίνηση είνι ίδι με υτή του προηγούμενου ερωτήμτος, x sin t + e t γ Η εξίσωση κίνησης γι t > είνι ẍ c e x x Υπάρχει ολοκλήρωμ ενέργεις v + V x E με c V x e x x dx c e x + x μηδενίζοντς την υθίρετη προσθετική στθερά, δηλ v ισχύει + c e x + x E Η τιμή της ενέργεις βρίσκετι πό τις ρχικές συνθήκες x t, v t κι είνι E c + Άρ η τχύτητ συνρτήσει της θέσης στην νέ κίνηση είνι v ± c + x c e x το πρόσημο νάλογ με την φορά της κίνησης Στην υποπερίπτωση c η επιπλέον δύνμη εξουδετερώνει την δύνμη ελτηρίου στην ρχική θέση x όπου το σώμ είνι στιγμιί κίνητο, επομένως το σώμ θ μείνει γι πάντ κίνητο στο x Στο σημείο x η δυνμική ενέργει έχει ελάχιστο οπότε η ισορροπί είνι ευστθής Στην γενική περίπτωση, στην ρχική θέση όπου το σώμ είνι στιγμιί κίνητο η δύνμη είνι c ˆx Επομένως γι c > το σώμ ρχικά θ κινηθεί προς μεγλύτερ x Μελετώντς την V x συμπερίνουμε ότι έχει έν ελάχιστο Επομένως το σώμ θ κινηθεί προς μεγλύτερ x μέχρι το σημείο x max όπου V x E, δηλ θ εκτελεί τλάντωση μετξύ του ρχικού σημείου x κι

4 του x max Ομοι συμπερίνουμε ότι γι c < το σώμ εκτελεί τλάντωση κι το ρχικό σημείο είνι το μέγιστο x το ελάχιστο είνι η λύση της εξίσωσης V x E δ Είνι ίδιο πεδίο δύνμης με υτό του προηγούμενου ερωτήμτος, με c x e x Οπως πριν βρίσκουμε δυνμική ενέργει V x x e x x x dx x e x x + x μηδενίζοντς την υθίρετη προσθετική στθερά Είνι V x x x e x x κι V x + x e x x Μηδενισμός της V x x σημίνει e x x Αυτό συμβίνει μόνο στο σημείο x x φού οι γρφικές πρστάσεις της x κι της e x x έχουν προφνώς x μόνο έν σημείο τομής Γι x > x είνι V x > φού lim V x + κι γι x < x είνι x V x < φού lim V x Επομένως η x V x στο x είνι V x +, είνι lim x φθίνουσ συνάρτηση γι x < x, έχει ελάχιστο στο x x ίσο με V x x + x / κι είνι ύξουσ συνάρτηση γι x > x με lim x V x x x Vx x x x Vx dx/dt Σημείο ισορροπίς είνι το x x κι είνι ευστθές φού η δυνμική ενέργει σε υτό είνι ελάχιστη Θέμ 3 ο : Η ρχική τροχιά της Γης είνι κυκλική κτίνς, οπότε η ρχική τχύτητ είνι v GM / κι η ενέργει E o M v GM M Μετά την πότομη λλγή του βρυτικού πεδίου η ενέργει είνι E M v GM /M GM M GM /M Άρ η τροχιά θ είνι πρβολική β Η κίνηση είνι ευθύγρμμη κι το ολοκλήρωμ ενέργεις είνι GM M M ṙ E r GM M, οπότε η τχύτητ σε κάθε θέση είνι ṙ GM r Η Γη θ πέσει στον Ηλιο ότν η κτίν μηδενιστεί γνοώντς τις διστάσεις των σωμάτων, σε dr dr χρόνο t ṙ GM r Θέτοντς r cos φ προκύπτει t 3 π/ cos φ dφ Το ολοκλήρωμ είνι cos + cosφ GM π/ π/ φ dφ dφ [ φ + sinφ ] π/ π 4 4 οπότε t π 3 Εν 4 GM 3 έτος, δηλ 365 ημέρες, ισούτι με π, επομένως ο χρόνος σε ημέρες είνι t GM 8 γ Εστω r το διάνυσμ πό τον Ηλιο m M στην Γη m M Από το πρόβλημ των δύο σωμάτων γνωρίζουμε ότι µ r F όπου µ m m κι F Gm m ˆr η βρυτική m + m r δύνμη που σκεί το m στο m Δηλ ισχύει r GM ˆr όπου M m + m κι άρ η λύση r γι το διάνυσμ r είνι κριβώς ίδι με την θέση σώμτος στο πεδίο βρύτητς κίνητης μάζς M r 3 Η περίοδος της ρχικής κίνησης είνι T π o GM κι πό την στιγμή που τ σώμτ στιγμιί κινητοποιούντι, θ συγκρουστούν σε χρόνο χρησιμοποιώντς το ποτέλεσμ του προηγούμενου ερωτήμτος t π r 3 o 4 GM T 8 δ Αν r κι r είνι οι ποστάσεις των σωμάτων πό το κέντρο μάζς τους ισχύουν r m r κι r + r r, δηλ r m M r, r m r Πργωγί- M ζοντς, τ μέτρ των τχυτήτων είνι v m M ṙ, v m M ṙ Το ṙ προκύπτει πό το ολοκλήρωμ ενέργεις ṙ GM r στθερά GM πό ρχικές συν-

5 θήκες, δηλ ṙ GM r Θέμ 4 ο : Η τροχιά είνι πρβολική, επομένως η ενέργει mṙ είνι E, δηλ + L mr GM m r GM ṙ L r m r Στο περιήλιο r λ είνι ṙ επομένως η προηγούμενη σχέση δίνει L m GM λ Η κτινική τχύτητ σε κάθε πόστση είνι λοιπόν GM ṙ GM λ r r Ολοκληρώνοντς την dt dr/ṙ βρίσκουμε τον ζητούμενο χρόνο Ο χρόνος που κινείτι πό r σε r λ είνι ίσος με τον χρόνο που κινείτι πό r λ σε r, επομένως ο συνολικός χρόνος που κινείτι ο κομήτης σε r < είνι t dr λ ṙ dr λ GM GM λ r r r dr GM λ r λ Με την ντικτάστση r x + λ βρίσκουμε λ t x / + λx / dx GM [ ] λ GM 3 x3/ + λx / 3 λ + λ GM 3 3 Εν έτος ισούτι με π, επομένως ο χρόνος GM σε έτη είνι t λ + λ έτη β Γι λ 7 βρίσκουμε t ημέρες

Σχετικά έγγραφα

v 0x = v 0 > 0, v 0y = 0.

v 0x = v 0 > 0, v 0y = 0. Εθνικό Κποδιστρικό Πνεπιστήμιο Αθηνών, Τμήμ Φυσικής Εξετάσεις στη Μηχνική Ι, Τμήμ Κ Τσίγκνου & Ν Βλχάκη, 4 Ινουρίου 07 Διάρκει εξέτσης 3 ώρες, Κλή επιτυχί bonus ερωτήμτ) Ονομτεπώνυμο:, ΑΜ: Ν ληφθεί υπόψη